Первый и второй законы Кирхгофа для электрических цепей

Понятия узла, ветви и контура электрической цепи.
Решения систем линейных уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа.
Преобразование электрической цепи треугольник-звезда с онлайн калькулятором.

Законы Кирхгофа, они же правила Кирхгофа (ибо фундаментальными законами не являются) – это ряд условий (в количестве двух штук) для составления системы линейных уравнений, описывающих соотношения между токами и напряжениями в разветвлённых электрических цепях.
Законы Кирхгофа довольно универсальны. Они справедливы для линейных и нелинейных цепей, постоянного и переменного токов и в совокупности с законом Ома позволяют определить параметры электрических цепей любой сложности.

Для формулирования своих правил Кирхгоф ввёл несколько понятий, таких как: узел, ветвь и контур, значение которых поясним на простом примере (Рис.1).
Законы Кирхгофа, пример электрической цепи
 
Рис.1 Пример схемы электрической цепи


Узлом называется точка соединения трёх и более ветвей (на принципиальных схемах обычно обозначается жирной точкой).
На Рис.1, приведённом в качестве примера электрической цепи – это точки А, В, С.

Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же значением тока.
На Рис.1 – это 5 ветвей с токами I1...I5.

Контуром называется замкнутый путь, по которому протекает электрический ток, проходя через несколько участков цепи, включающих в себя узлы и ветви. На Рис.1 контуры изображены круглыми стрелками.


Теперь, определившись с терминами, можно переходить к формулированию законов Кирхгофа.

Первый закон или правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда и провозглашает, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю.
Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.
Если следовать примеру, приведённому на Рис.1, то для узла А:   I1+I4-I3=0.

Переходим ко второму закону Кирхгофа, который вытекает из третьего уравнения Максвелла и формулируется следующим образом:
Алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической (т. е. с учётом знака) сумме падений напряжений на всех элементах этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС (генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю.
Направление обхода ветвей контура выбирается произвольно. Падение напряжения считают положительным, если направление тока ветви совпадает с ранее выбранным направлением обхода, в противном случае – отрицательным.
Припадаем к рисунку Рис.1, выбираем один из трёх контуров и констатируем:
UR2 + UR4 + UR3 = Е2.

Законы законами, да и правила – вещь не самая бесполезная в радиолюбительском хозяйстве, только как воспользоваться всей этой полученной информацией на практике? Давайте с этим разберёмся и рассмотрим схему более приближённую к реальной жизни, чем та, которую мы приводили ранее в качестве примера, а конкретно – схему несбалансированного резистивного моста (Рис.2).

Пример применения правил Кирхгофа
Рис.2 Пример применения правил
Кирхгофа

Для расчёта токов, протекающих в цепях, для начала воспользуемся первым правилом Кирхгофа:
Iобщ = I1 + I4 = I2 + I5 ;
I1 = I2 + I3 .
.

Согласно второму правилу и закону Ома:
I1*R1 + I2*R2 = E ;
I4*R4 + I5*R5 = E ;
I1*R1 + I3*R3 + I5*R5 = E .


Ну и хватит: пять уравнений, пять неизвестных – вполне достаточно, для того чтобы получить искомые значения всех токов.


Правда возникает резонный вопрос – КАК? Отвечу – матричным методом решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем. Согласен – геморрой! А поскольку мы ребята ленивые, но местами сообразительные, то и не станем искать сложных путей, а воспользуемся широко известным в узких кругах методом эквивалентного преобразования пассивных цепей – треугольник-звезда. Как это выглядит?
Преобразование треугольник - звезда
Рис.3 Преобразование треугольник-звезда


Преобразование треугольник ⇒ звезда:
R1з=R1т*R3т /(R1т+R2т+R3т) ;
R2з=R1т*R2т /(R1т+R2т+R3т) ;
R3з=R2т*R3т /(R1т+R2т+R3т) .


И обратное преобразование:
R1т=R1з+R2з+ R1з*R2з /R3з ;
R2т=R2з+R3з+ R2з*R3з /R1з ; R3т=R1з+R3з+ R1з*R3з /R2з .


Сопроводим рисунок простыми онлайн калькуляторами.

Калькулятор рсчёта элементов эквивалентного преобразования треугольник ⇒ звезда

   Сопротивление резистора R1т         
   Сопротивление резистора R2т         
   Сопротивление резистора R3т         
  
   Сопротивление резистора R1з            
   Сопротивление резистора R2з            
   Сопротивление резистора R3з            


Калькулятор рсчёта элементов эквивалентного преобразования звезда ⇒ треугольник

   Сопротивление резистора R1з         
   Сопротивление резистора R2з         
   Сопротивление резистора R3з         
  
   Сопротивление резистора R1з            
   Сопротивление резистора R2з            
   Сопротивление резистора R3з            


Вот теперь в схеме несбалансированного резистивного моста (Рис.2) можно выделить треугольник, состоящий из резисторов R2, R3 и R5, и заменить его на звезду (R1з...R3з, Рис.4 б).

Преобразование треугольник - звезда
Рис.4 Эквивалентное преобразование треугольник-звезда

Нужно нам это для того, чтобы, используя правила параллельного и последовательного соединения резисторов, свести всю нашу многозвенную цепь к одному элементу (Rэкв, Рис.4 г), после чего посредством простейшей манипуляции на калькуляторе или деревянных счётах вычислить величину: Iобщ = Е/Rэкв = 10В/2.239кОм = 4.47мА.
Теперь, перемещаясь к Рис.4 в) и воспользовавшись первым правилом Кирхгофа, констатируем:
IR1з = I1 + I4 = Iобщ = 4.47мА.
Далее напрочь забываем о Густаве Робертовиче Кирхгофе вместе с его правилами и юзаем исключительно закон Ома в самом что ни на есть его чистом виде:
UC = IR1з * R1з = Iобщ * R1з = 4.47мА * 1кОм = 4.47В (Рис.4 в).
I1 * (R1 + R2з) = E - UC (Рис.4 б),
отсюда:
I1 = (10В - 4.47В) / (1кОм + 600Ом) = 3.46мА.
Точно так же:
I4 = (E - UC) / (R4 + R3з) = (10В - 4.47В) / (4кОм + 1.5кОм) = 1.01мА.
И последний финишный рывок мы совершим, вернувшись к первоначальной схеме (Рис.4 а):
UА = Е - R1 * I1 = 10 В - 1кОм * 3.46мА = 6.54В.
UВ = Е - R4 * I4 = 10 В - 4кОм * 1.01мА = 5.96В.
I3 = (UА - UВ) / R3 = (6.54В - 5.96В) / 3кОм = 0.19мА.
I2 = UА / R2 = 6.54В / 2кОм = 3.27мА.
I5 = UВ / R5 = 5.96В / 5кОм = 1.19мА.

Всё, расчёт окончен! Ну а поскольку мы ребята не только сообразительные, но и пытливые умом и трезвым взглядом на вещи, то нам будет не влом проверить полученные результаты на симуляторе:

Проверка законов Кирхгофа на симуляторе

Вот теперь – точно всё! Отныне мы не только освоили оба правила Кирхгофа, но и основательно освежили в памяти основной закон электротехники – закон Ома.



 

Главная страница | Наши разработки | Полезные схемы | Это нужно знать | Вопросы-ответы | Весёлый перекур
© 2017 Vpayaem.ru   All Rights Reserved