Онлайн расчёт площади произвольного четырёхугольника

Как вычислить площадь четырёхугольника через: 1. Четыре сторо­ны; 2. Четыре стороны и два угла; 3. Четыре стороны и диагональ;  4. Четыре стороны и один угол; 5. Две диагонали и угол между ними? Формулы и онлайн калькулятор

Площадь четырёхугольника – это численная характеристика, определяющая размер плоскости, ограниченной 4-мя соединёнными между собой (замкнутыми) отрезками прямых линий, и измеряемая в м², мм², см², км², сотках, гектарах и т. д.
В зависимости от имеющихся исходных данных площадь четырёхугольника можно вычислить по разным формулам.

Онлайн калькулятор, приведённый ниже, позволяет по разнообразным вводным вычислить площади не только типовых или стандартных четырёхугольников, таких как: прямоугольник, параллелограмм, ромб или трапеция, но и "неправильных" четырёхугольников произвольной формы.

Калькулятор площади произвольного четырёхугольника:

По четырём сторонам (Рис.1) По 4-ём сторонам и двум углам (Рис.2) По 4-ём сторонам и диагонали (Рис.3) По 4-ём сторонам и одному углу (Рис.3) По двум диагоналям и углу (Рис.4) *** Важно!!!  Необходимым критерием существования (замкнутости) любого     четырёхугольника является условие:  длина наибольшей стороны должна     быть меньше суммы длин остальных сторон.  Однако этого может быть     недостаточно при вводе некорректных (для данного 4-угольника) значений     углов или длин диагоналей

Формулы, используемые в калькуляторе:

1. Первый способ расчета основан на формуле Брахмагупты, которая выражает площадь четырёхугольника как функцию длин его сторон (Рис.1).

Данная формула применима только к типу 4-угольников, вписанных в окружность, поэтому область её применения значительно ограничена.

2. Вторая формула является расширенной версией предыдущей формулы. Она позволяет найти площадь произвольного четырехугольника по 4-ём сторонам и двум углам без каких-либо ограничений (Рис.2).

Значения углов α и β – цифры абстрактные и могут принимать для одной и той же фигуры различные величины. Важно, чтобы полусумма этих улов соответствовала фактическому показателю для данного четырёхугольника.
На самом деле, несмотря на то, что данная формула фигурирует практически во всех источниках информации и калькуляторах, она имеет явную избыточность. При наличии значений длин всех 4-ёх сторон, вполне достаточно указания одного угла, чтобы зафиксировать уникальную форму четырёхугольника.
Но об этом мы поговорим немного позже.

3. Формула для расчёта площади четырёхугольника через четыре стороны и диагональ (Рис.3) выглядит следующим образом:

В данном случае диагональ разбивает четырёхугольник на два треугольника, а общая площадь вычисляется как сумма их площадей. Поскольку длины всех сторон треугольников известны, то площадь каждого рассчитывается с помощью формулы Герона (по трём сторонам).

4. Как уже было сказано, для расчёта площади 4-угольника вполне достаточно значений длин 4-ёх сторон и одного угла. Зная эти величины и теорему косинусов, можно легко рассчитать и диагональ, и второй угол по формулам:

А дальше, уже в зависимости от предпочтений, вычисление площади 4-угольника можно произвести с помощью формул, приведённых в п.2 либо в п.3.

5. Формула вычисления площади по двум диагоналям и углу между ними (Рис.4) имеет следующий вид:

Эта формула самая простая и никаких особенностей не имеет.