Что такое дифференцирующие и интегрирующие цепи?

Активные на ОУ и пассивные RC и RL дифференцирующие и интегрирующие цепи: схемы, осциллограммы и онлайн калькулятор расчёта постоянной времени цепи.

Святая простота! Что может быть проще?
А проще могут быть лишь чётко сформулированные определения дифференцирующей и интегрирующей цепей, не обременённые ни лингвистическими излишествами, ни всякого рода необязательными формулами.

Итак, полностью оправдывая свои названия:
Дифференцирующая цепь - это цепь, в которой мгновенное значение напряжения на выходе прямо
пропорционально дифференциалу входного напряжения;
Интегрирующая цепь - цепь, у которой мгновенное значение выходного напряжения не менее прямо
пропорционально интегралу входного напряжения.

Начнём с RC и RL дифференцирующих цепей.

Эти цепи решают две основные задачи преобразования сигналов:
1. Формирование импульсов малой длительности (укорочение входных импульсов), которые далее используются для запуска триггеров, одновибраторов и других устройств,
2. Выполнение математической операции дифференцирования (получение производной по времени) для устройств вычислительной техники, аппаратуры авторегулирования и т.д.


Рис.1.

Основной характеристикой данных цепей является постоянная времени цепи τ = rC, либо τ = L/r.
В общем случае сигнал на выходе цепи описывается следующей формулой:
U₂ = τ×d(U₁-U₂)/dt.
Однако на практике, если мы выбираем τ << T_и, где T_и - длительность входного импульса, то наши схемы приобретают чёткие дифференцирующие свойства, а выходное напряжение U₂ становится равным: U₂ = τ×dU₁/dt.

Приведём несколько поясняющих картинок.

На Рис.2 приведены осциллограммы напряжений на выходах дифференцирующих цепей, в зависимости от различных соотношений постоянной времени цепи τ и длительности входного импульса tи.

В начальный момент подачи входного импульса, напряжение на выходе U_вых практически моментально достигает амплитудного значения входного U_вх, а затем идёт относительно плавный спад до:
U_вх/√e ≈ 0,61Uвх за время, равное τ/2,
U_вх/e ≈ 0,37Uвх за время, равное τ,
U_вх/e² ≈ 0,135Uвх за время, равное 2τ,
U_вх/e³ ≈ 0,05Uвх за время, равное 3τ,
где e - это основание натурального логарифма ≈ 2,72.







Переходим к интегрирующим RC и RL цепям.

Интегрирующая цепь предназначена для формирования импульсов большой длительности, т. е. для удлинения или расширения импульсов, преобразования импульсов по интегральному закону, получения линейно изменяющегося напряжения. Отсюда и другое название интегрирующей цепи - удлиняющая цепь.


Рис.3.

Значение величины постоянной времени интегрирующей цепи ничем не отличается от дифференцирующих собратьев: τ = rC, либо τ = L/r.

Для корректного выполнения цепью интегрирующих функций должно выполняться условие:
τ >> T_и, где T_и - длительность входного импульса. При соблюдении этого условия выходное напряжение U₂ описывается следующей формулой: U₂ = 1/τ×∫U₁dt.

Продолжим уроки рисования.

На Рис.4 приведены осциллограммы напряжений на выходах интегрирующих цепей, в зависимости от различных соотношений постоянной времени цепи τ и длительности входного импульса tи.

В начальный момент подачи входного импульса, напряжение на выходе U_вых равно 0, после чего начинает расти со скоростью, обратно пропорциональной значению τ и достигает следующих значений:
U_вх×(1-1/√e) ≈ 0,39Uвх за время, равное τ/2,
U_вх×(1-1/e) ≈ 0,63Uвх за время, равное τ,
U_вх×(1-1/e²) ≈ 0,86Uвх за время, равное 2τ,
U_вх×(1-1/e³) ≈ 0,95Uвх за время, равное 3τ,
где e - это по-прежнему основание всё того же пресловутого натурального логарифма ≈ 2,72.




Снять ограничения по выбору постоянной времени дифференцирующих и интегрирующих цепей (по отношению к длительности входного импульса) можно посредством применения операционных усилителей (Рис.5).

Рис.5 Схемы активных дифференциаторов на ОУ

Здесь всё по аналогии с пассивными цепями, только без ограничений по длительности входного импульса и, поскольку включение операционного усилителя инвертирующее – со знаком минус:
U_вых = – RC×dU_вх/dt.
Уменьшение реактивного сопротивления конденсатора С при росте частоты приводит к синхронному повышению коэффициента усиления активного дифференциатора, что создаёт условия для возможного самовозбуждения устройства. Для того, чтобы этого избежать в схему активного дифференциатора часто вводят корректирующее сопротивление Rк (Рис.5 справа). Применение данного резистора ограничивает коэффициент усиления на BЧ, что, в свою очередь, обеспечивает более высокую динамическую устойчивость.
Для того чтобы не сильно пострадала точность преобразования, номинал корректирующего резистора Rк следует выбрать небольшим, как минимум в 100 раз меньшим, чем величина сопротивления резистора R.

Переходим к схемам интеграторов, построенных на операционных усилителях (Рис.6).

Рис.6 Схемы активных интеграторов на ОУ

Здесь тоже всё без изменений: U_вых = – ∫U_вхdt / (RC).

В отличие от дифференциатора, схема интегрирующего усилителя имеет высокую устойчивость, но за счёт отсутствия обратной связи по постоянному току, имеет склонность к дрейфу выходного напряжения. Связано это с ненулевым значением параметра смещения выходного уровня реального ОУ.
Ошибку напряжения сдвига можно уменьшить посредством включения параллельно конденсатору С корректирующего резистора Rк (Рис.6 справа), образующего совместно с входным резистором R ООС по постоянному току. Для сохранения точности преобразования номинал Rк как минимум в 100 раз должен превышать сопротивление резистора R.


Ну и под занавес приведём таблицу для расчёта значения величины постоянной времени дифференцирующих и интегрирующих цепей τ.
Как уже говорилось - это величина одинакова для обоих типов цепей и равна τ = rC, либо τ = L/r.
Незадействованные элементы при вводе данных можно оставить без внимания.

Тип диф/инт цепи	RC-цепь   RL-цепь
Сопротивление резистора r		Ом кОм МОм
Ёмкость конденсатора С		МкФ нФ пФ
Индуктивность катушки L		мГн мкГн
Постоянная времени цепи τ