Первый и второй законы Кирхгофа для электрических цепей

Правила Кирхгофа, как основа для определения значений напряжений и токов в любой точке электрической цепи.
Формулы и примеры решений линейных уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа. Онлайн калькулятор расчёта элементов преобразования треугольник ⇒ звезда и наоборот.

Законы Кирхгофа или правила Кирхгофа (так как фундаментальными законами не являются) – это ряд условий для составления системы линейных уравнений, описывающих соотношения между напряжениями и токами в разветвлённых электрических цепях.
Законы Кирхгофа справедливы для большинства линейных и нелинейных цепей, постоянного и переменного токов и в совокупности с законом Ома позволяют определить параметры электрических цепей любой сложности.

Для формулирования своих правил Кирхгоф ввёл несколько понятий, таких как: узел, ветвь и контур, значение которых поясним на простом примере (Рис.1).

Рис.1 Пример схемы электрич. цепи

Узлом называется точка соединения трёх или более ветвей. На Рис.1 – это точки А, В, С. Ветвью называют участок электри­ческой цепи с одним и тем же значением тока. На рисунке – это 5 ветвей с токами I1...I5. Контур – это замкнутый путь, по ко­торому протекает электрический ток, проходя участки цепи, включающие в себя узлы и ветви. На Рис.1 контуры изображены круглыми стрелками.

Теперь, определившись с терминами, можно переходить к формулировке правил.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда и провозглашает:
«Алгебраическая сумма токов, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю».
Иными словами – сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. При этом ток, направленный к узлу, считается положительным, а направленный от узла – отрицательным.
Если следовать примеру, приведённому на Рис.1, то для узла А:   I1+I4-I3=0.

Второй закон Кирхгофа основан на 3-ем уравнении Максвелла и выражается как:
«Алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжений на всех элементах этого контура».
При отсутствии в контуре источников ЭДС – суммарное падение напряжений равно нулю. Если направление тока ветви совпадает с ранее выбранным направлением обхода, то падение напряжения считают положительным, в противном случае – отрицательным.
При выборе одного из трёх контуров на Рис.1: U_R2 + U_R4 + U_R3 = Е2.

Законы и правила – вещь не самая бесполезная в радиолюбительской хозяйстве, только как воспользоваться всей этой полученной информацией на практике? А для этого давайте рассмотрим схему более приближённую к реальной жизни, чем предыдущая – схему несбалансированного резистивного моста (Рис.2).

Рис.2 Пример применения ПК

Для расчёта токов, протекающих в цепях, воспользуемся первым правилом Кирхгофа: Iобщ = I1 + I4 = I2 + I5 ; I1 = I2 + I3. Согласно второму правилу и закону Ома: I1*R1 + I2*R2 = E ; I4*R4 + I5*R5 = E ; I1*R1 + I3*R3 + I5*R5 = E.

Ну и хватит: пять уравнений, пять неизвестных – этого вполне достаточно, для того чтобы получить искомые значения всех токов.
Правда возникает резонный вопрос – КАК? Отвечу – матричным методом решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.
Согласен – заморочка! А поскольку мы ребята ленивые, но местами сооб­рази­тельные, то не станем искать сложных путей, а воспользуемся широко известным в узких кругах методом эквивалентного преобразования пассивных цепей – треугольник-звезда. Как это выглядит на практике?

Рис.3 Преобразование треугольник-звезда

Преобразование треугольник ⇒ звезда:
R1_з=R1_т*R3_т /(R1_т+R2_т+R3_т) ;
R2_з=R1_т*R2_т /(R1_т+R2_т+R3_т) ;
R3_з=R2_т*R3_т /(R1_т+R2_т+R3_т) .

Преобразование звезда ⇒ треугольник:
R1_т=R1_з+R2_з+ R1_з*R2_з /R3_з ;
R2_т=R2_з+R3_з+ R2_з*R3_з /R1_з ;
R3_т=R1_з+R3_з+ R1_з*R3_з /R2_з .

Сопроводим приведённые формулы двумя онлайн калькуляторами:

Расчёт элементов преобразования треугольник ⇒ звезда

Сопротивл. резистора R1т		Ом кОм МОм
Сопротивл. резистора R2т		Ом кОм МОм
Сопротивл. резистора R3т		Ом кОм МОм
Сопротивл. резистора R1з
Сопротивл. резистора R2з
Сопротивл. резистора R3з

Расчёт элементов преобразования звезда ⇒ треугольник

Сопротивл. резистора R1з		Ом кОм МОм
Сопротивл. резистора R2з		Ом кОм МОм
Сопротивл. резистора R3з		Ом кОм МОм
Сопротивл. резистора R1з
Сопротивл. резистора R2з
Сопротивл. резистора R3з

Теперь в схеме несбалансированного резистивного моста (Рис.2) можно выделить треугольник, состоящий из резисторов R2, R3 и R5, и заменить его на звезду R1з...R3з (Рис.4б).



Рис.4 Эквивалентное преобразование треугольник – звезда

А нужны нам эти манипуляции для того, чтобы, используя правила параллельного и последовательного соединения резисторов, свести всю нашу многозвенную цепь к одному элементу Rэкв (Рис.4г), после чего посредством простейших действий на калькуляторе или деревянных счётах вычислить величину:
Iобщ = Е/Rэкв = 10В/2.239кОм = 4.47мА.
Теперь, перемещаясь к Рис.4в и воспользовавшись первым правилом Кирхгофа, констатируем:
I_R1з = I1 + I4 = Iобщ = 4.47мА.

Далее напрочь забываем о Густаве Робертовиче Кирхгофе вместе с его правилами и юзаем исключительно закон Ома в самом что ни на есть его первозданном виде:
U_C = I_R1з * R1з = Iобщ * R1з = 4.47мА * 1кОм = 4.47В (Рис.4в).
I1 * (R1 + R2з) = E - U_C (Рис.4б),
отсюда:
I1 = (10В - 4.47В) / (1кОм + 600Ом) = 3.46мА.
Точно так же:
I4 = (E - U_C) / (R4 + R3з) = (10В - 4.47В) / (4кОм + 1.5кОм) = 1.01мА.

И последний финишный рывок совершим, вернувшись к начальной схеме (Рис.4а):
U_А = Е - R1 * I1 = 10 В - 1кОм * 3.46мА = 6.54В.
U_В = Е - R4 * I4 = 10 В - 4кОм * 1.01мА = 5.96В.
I3 = (U_А - U_В) / R3 = (6.54В - 5.96В) / 3кОм = 0.19мА.
I2 = U_А / R2 = 6.54В / 2кОм = 3.27мА.
I5 = U_В / R5 = 5.96В / 5кОм = 1.19мА.

Всё, расчёт окончен! Ну а поскольку мы ребята не только сообразительные, но и пытливые умом и трезвым взглядом, то нам будет не влом проверить полученные результаты на симуляторе:



Вот теперь – точно всё! Отныне мы не только освоили оба правила Кирхгофа, но и основательно освежили в памяти основной закон электротехники – закон Ома.